foto1
foto1
foto1
foto1
foto1

Знання - це скарб, а навчання - ключ до нього.

Навчання - світло, а не навчання тьма.

Знання за гроші не купиш.

Знання - це сила, а незнання - робоча сила?

Хорошого спеціаліста робота сама шукає.

Електротехніка

Тема: Кола синусоїдального струму.

1.Основні визначення.

2.Метод векторних діаграм

3.Опір, індуктивність і ємність в колі змінного струму.

4. Явище резонансу

1.Основні визначення.

 Спочатку електроенергетика розвивалась на базі невеликих електростанцій постійного струму, що працювали на привозному паливі. Кожна з станцій обслуговувала невеликий регіон або одне підприємство. Вартість виробництва електроенергії на цих станціях була високою. Централізація виробництва електроенергії постійного струму була неможливою через складності передачі електроенергії на великі відстані, пов’язані з великими втратами при низькій напрузі передачі. Економічне централізоване виробництво електроенергії потребувало застосування різних напруг для генераторів, ЛЕП і електроприймачів, у зв’язку з чим виникла необхідність в перетворенні електроенергії однієї напруги в електроенергію іншої напруги. Ця проблема була вирішена введеним електроустановок змінного струму. Можливість трансформації змінного струму дозволила для кожного елемента електроустановки мати свою , найбільш відповідну умовам, напругу. Перші установки змінного струму для технічних цілей були створені російським вченим Яблочковим в 70-х роках ХІХ-го сторіччя.

Сучасна електроенергетика побудована на використанні змінного струму і лише в деяких випадках використовується постійний струм. Електричні машини ( генератори, двигуни) мають високі техніко–економічні показники, надійні в роботі і зручні в експлуатації.  Генератори змінного струму простіші у виготовленні, надійніші та дешевші за генератори постійного струму. Вони не мають колектора, що потребує постійного регулювання та спеціального обслуговування. Часто вживаються дуже прості та надійні двигуни змінного струму, особливо асинхронні двигуни. Ще однією перевагою кіл змінного струму є можливість його трансформування.

Змінний електричний струм (ЕРС, напруга)-це струм (ЕРС, напруга), що змінюється з часом.

Значення цієї величини в розглянутий момент часу називається миттєвим значенням струму (ЕРС, напруги) і позначаються буквами е, u, i, p.

Миттєві значення струму, ЕРС, напруги відповідно:

i = Imsin(ωt+Ψi)

e = Emsin(ωt+Ψe)

u = Umsin(ωt+Ψu)

де- Im,EmUm-амплітуди струму, Ерс, напруги

ω-кутова частота

ωt-фазовий кут(фаза)

Ψ-початкові фази струму напруги, ЕРС

Характеристики синусоїдальних величин:

Амплітуда Іm –найбільша абсолютна величина, яку має електричний струм, що періодично змінюється.

Період Т – найменший проміжок часу, на протязі якого миттєві значення струму повторюються. T = 2p / ω

Частота f - величина обернена до періоду електричного струму f= 1/T f = p n/60

де р—число пар полюсів генератора;

n - частота обертання якоря генератора, об/хв.

Одиниця частоти – Гц. Частота дорівнює 1 Гц, якщо повний цикл зміни струму здійснюється за 1 секунду.

 В Європі промисловою частотою є частота 50 Гц. В США, Канаді, Японії – 60 Гц. Вибір промислової частоти обумовлений техніко–економічними міркуваннями – при меншій частоті помітне мерехтіння світла в освітлювальних приладах, а при більших – виникає додатковий опір при передачі енергії на великі відстані.

Кутова частотаω - швидкість зміни фази струму ω = 2πf , (с-1)  π=3,14

Синусоїдальний характер змінного струму обумовлений характером змінної ЕРС, що утворюється в статорі генератора[1]. Ротор обертається з кутовою швидкістю w = a / t. Якщо покласти a = 2p, а це буде за t = Т, тобто струм здійснить повний цикл своїх змін,                 то w = 2p / Т = 2p f. Ця величина називається круговою частотою.

Фаза – аргумент синусоїдального струму , що визначають з точки переходу через нуль до додатного значення

Початкова фаза струму (ЕРС, напруги) ψi, ψe, ψu, -це значення фази в момент часу t=0. image1

Різниця початкових фаз двох синусоїдальних величин однієї і тієї ж частоти називають зсувом фаз.

Зсув фаз між напругою і струмом визначається обрахуванням початкової фази струму з початкової фази напруги φ = ψu - ψi

Діюче значення змінного струму (ЕРС, напруги)-це середньоквадратичне значення змінного струму (ЕРС, напруги) за період Т:

Якщо струм, ЕРС чи напруга змінюються по синусоїдальному законі, то його діюче значення складає 0,707 амплітудного значення:

 2.Метод векторних діаграм

Синусоїдально змінюючі величини зображують або графічно як функції часу t чи кута ωt, або обертовими векторами на площині. В останньому випадку довжина вектора в обраному масштабі являє собою амплітудне чи діюче значення цієї величини, кут між цим вектором і позитивним напрямком осі абсцис у початковий момент часу дорівнює початковій фазі ψ, а кутова частота обертання вектора дорівнює кутовій частоті ω.

Сукупність двох і більшого числа векторів називають векторною діаграмою. Додавання векторів роблять за правилом паралелограма. Віднімання їх це додавання з зворотною за знаком по величині.

Тому що діючі значення струмів, ЕРС і напруг пропорційні амплітудам цих величин, то вектор, що виражає в одному масштабі амплітудне значення, в іншому являє собою діюче значення тієї ж величини. Частіше векторні діаграми будують у діючих значеннях.

Перший та другий законі Кірхгофа слушні для миттєвих значень струмів та ЕРС, тобтоi =0 , ΣRi =∑e

Метод векторних діаграм дає змогу замінити алгебраїчне складення синусоїдних величин геометричними діями над векторами у відповідності з правилами векторного аналізу.

Метод векторних діаграм полягає в такому:

— кожній синусоїдній величині відповідає вектор цієї величини;

— напрям вектора синусоїдної величини визначається зсувом фаз;

модуль вектора синусоїдної величини є пропорційним до діючого значення або амплітуди цієї величини;

— вектори синусоїдних величин однакової кутової частоти можна складати геометрично як звичайні вектори.

Додатний напрям кута відраховується проти ходу годинної стрілки.

Таким чином, якщо треба визначити струм і=і1 + і2

Згідно з першим законом Кірхгофа  можна провести такі алгебраїчні дії:

i1= I1m sin ωt

i2= I2m sin (ωt+a)

i= Im sint+b)

 Амплітуду та початкову фазу струму визначити дуже важко. Відповід­но до методу векторних діаграм цей струм простіше визначити за до­помогою векторної діаграми, що обов'язково будується у масштабі

3.Опір, індуктивність і ємність в колі змінного струму.

Активний опір у колі синусоїдного струму

Якщо на синусоїдну напругу u = Um sin wt увімкнути резистивний елемент , то у колі виникне миттєвий струм

R

Таким чином, можна зробити висновок, що струм у колі з активним опором, увімкнутим на синусоїдну на­пругу, є синусоїдним та збігається з на­пругою за фазою.

Вектор струму збігається за напрямом із вектором напруги (зсув за фазою дорів­нює нулю). Ці дві електричні величини мають лише дійсне значення.

Величина R називається активним опором

Закон Ома для такого кола через амплітудні значення, діючі значення та в комплексній формі має вигляд

Im=Um/R    I=U/R

Індуктивність у колі змінного струму

Якщо у колі з індуктивним елементом протікає синусоїдний струм i=Im sinωt

То напругу можна записати співвідношенням

U = -e =ULm cos ωt    ULm = Elm = LIm ω

L

Таким чином, при вмиканні індуктивності на синусоїдну напругу струм у колі залишається синусоїдним і відстає від напруги на чверть періоду.

Величина XL = ωL, має розмірність опору і називається індук­тивним опором. Індуктивний опір відрізняється від активного і має на­зву реактивного опору.

 

Вектор напруги виперед­жає вектор струму на 90° (символу показує, що вектор струму треба повернути на чверть періоду проти ходу годинної стрілки). Закон Ома для кола з індуктивним елементом через амплітудні, діючі значення та в комплексній формі має вигляд Im= Um/XL     I= U/XL

Ємність у колі синусоїдного струму

Якщо коло синусоїдного струму містить ідеальний ємнісний елемент, то струм змінюється за законом i = wC Um cosωt

i = Im cosωt а напруга u = Umsinωt

C

При вмиканні ємності на синусоїдну напругу у колі встанов­люється синусоїдний струм, що випереджає напругу на чверть періоду.

Величина Xc =1/ωC має розмірність опору та називається ємнісним опором.Ємнісний опір Xc = 1/wC постійному струму дорівнює нескінченності і зменшується при підвищенні часто­ти змінного струму та ємності елемента.

Ємнісний опір, як і індуктивний, є реактивним опо­ром. X=XL-Xc

Векторна діаграма кола з ємністю.Помноження вектора струму на -j відповідає повороту цього вектора на 90° за ходом годинної стрілки.

Нерозгалужені  електричні кола змінного струму.

 

 

 При послідовному з'єднанні елементів  мають місце такі співвідношення для миттєвих, діючих значень та комплексів напруг:

U=UR+UL+Uc

Оскільки UR=IR; UL=jIXL; UC=-jIXc векторна діаграма має вигляд

Різницю Х=ХL -Хс називають реактивним опором.

Вираз Z = називають повним опором

Кут між струмом та напругоюφ = arctg X/R

 

 

Векторна діаграма нерозгалужені  електричні кола змінного струму.

Розгалужені  електричні кола змінного струму.

При паралельному з'єднанні елементів рівняння за першим законом Кірхгофа для миттєвих, діючих значень та у комп­лексній формі мають такий вигляд: I=IR+IL+Ic

 Активна, реактивна і повна потужність.

 Якщо сторони трикутника напруг помножити на струм І, то отримаємо трикутник потужностей:

Активна потужність    P = Ua I = U I cos φ [вт];

Реактивна потужність Q = UL / C I = U I sin φ [вар];

Повна потужність        S = U I [ВА].

  Значення cos φ

Електроприймачі змінного струму є або пристроями, що споживають тільки активну потужність (лампи розжарювання, електронагрівальні прилади – печі, праски), або пристрої, що споживають як активну, так і реактивну потужність (зокрема двигуни змінного струму). Активна потужність, що споживається двигуном, перетворюється ним в корисну механічну роботу і частково розсіюється у вигляді тепла. Разом з необратним перетворенням електроенергії в інші види енергії тут одночасно проходить обратний процес обміну енергією між змінним магнітним полем і джерелом живлення.

Якщо б двигун отримував від джерела тільки активну потужність Р, тобто працював би з cos φ = 1, то споживав би струм I = P / U. В дійсності двигун змінного струму є для джерела як активним, так і реактивним навантаженням, тобто працює з індуктивним cosφ. В зв’язку з цим двигун при тій же активній потужності Р і, відповідно, при тій же корисній механічній роботі споживає з мережі струм більшої величини .

Зниження cos φ призводить:

  1. до підвищення втрат електроенергії (I 2Rt) в проводах лінії;
  2. до завищення необхідної потужності (S = UI) джерела живлення.

Так, наприклад, якщо двигун працює з cos φ= 0,7, то втрати енергії в лінії збільшується пропорційно (1/ cos φ) 2, тобто в 2 рази, а потужність джерела повинна бути більшою майже в 1,5 рази в порівняння з роботою при cosφ = 1.

Якщо паралельно двигуну включити конденсатор такої ємності, щоб реактивна складова загального струму стала рівною нулю, то загальний cosφкола буде дорівнювати 1. У випадку повної компенсації конденсатор цілком покриває потреби двигуна в реактивній потужності  із мережі буде споживатись тільки активна потужність Р.

 

Явище резонансу

В електричному колі, що складаються з L і C при певних умовах можуть виникнути коливання. Коливальний процес в колі – це періодичний обмін енергією між електричним і магнітним полем. Таке коло має назву коливальний контур.

 LC

Розглянемо такий ідеальний (R = 0) коливальний контур.

Конденсатор ємністю С, попередньо заряджений від зовнішнього джерела до напруги UC.

Енергія електричного поля конденсатора складає . We

До зарядженого конденсатора приєднується ідеальна котушка з індуктивністю L. Оскільки конденсатор через котушку почне розряджатись в колі виникне струм і.

Ut

Енергія електричного поля конденсатора перетворюється на енергію магнітного поля котушки . Wl

В той момент, коли конденсатор повністю розрядиться і його напруга впаде до нуля, струм в колі досягне максимального значення Іm. ЕРС самоіндукції eL котушки в цей час діє зустрічно струму, гальмуючи його збільшення. В другій чверті періоду напруга UC збільшується і конденсатор заряджається за рахунок накопиченої енергії котушки при тому ж напрямку струму, який зменшується до нуля і який в цей час підтримується ЕРС самоіндукції eL, що змінила свій напрямок. Процес повторюється, але при зворотному напрямку струму.

it

Отже в ідеальному колі буде безперервно відтворюватись перезаряд конденсатора через котушку індуктивності – утворяться вільні коливання.

В реальному коливальному контурі, де є активний опір (R ≠ 0), де є теплові втрати енергії – коливання в контурі будуть затухаючими.

Математичний аналіз показує, що при замиканні зарядженого конденсатору на ідеальну котушку в колі, що утворюється, виникає змінний синусоїдальний струм i = Isin wωt. Частота цього струму визначається параметрами L і C контуру

fw 

Величину f0 прийнято називати власною частотою коливального контуру.

Як відзначалось, в дійсності контур має активний опір, що призводить до втрат енергії. Електромагнітний коливальний процес, що відбувається в контурі за рахунок початкового запасу енергії, поступово вщухає і повністю припиняється, коли весь запас енергії розсіється в оточуюче середовище у вигляді тепла.

Щоб підтримувати невщухаючі коливання енергії між електричним і магнітним полями, тобто отримати в контурі синусоїдальний струм з незмінною амплітудою, потрібно підводити до контуру енергію, що компенсує теплові втрати. Передача контуру цієї енергії повинна проводитись періодично – в такт з власними коливаннями контуру. Це означає, що на протязі кожного періоду до контуру необхідно підвести кількість енергії, що втрачається ним у вигляді тепла.

Це можна здійснити, якщо в коло коливального контуру включити джерело змінного струму з частотою f, рівною частоті f0 коливального контуру.

По аналогії з механічною системою, де збіг частоти вимушених коливань з частотою власних коливань механічної системи має назву резонанс, процес, що протікає в електричному коливальному контурі також має назву резонанс.

Одними з ознак резонансу в електричному колі, що має L і C, є збіг за фазою напруги u і струму і джерела, що живить це коло, а також та обставина, що повний опір кола складає тільки активний опір.

Розрізняють:

  1. резонанс напруг, коли джерело, котушка і конденсатор утворюють послідовне коло.
  2. резонанс струмів, коли котушка і конденсатор включені паралельно по відношенню до джерела змінного струму.

Резонанс напруг.

RU 

Як відзначалось, при резонансі струм і напруга співпадають за фазою, тобто j = 0 і повний опір кола дорівнює його активному опору Z

 Ця рівність буде мати місце, коли XL = XC, тобто реактивний опір кола дорівнює 0: Х = XL – XC = 0, де XL = ωL = 2πfL і XC = 1/(ωС) = 1/(2πfC), тобто: 2πfL = 1/(2πfC). Звідки:f

.

Отже, при XL = XC , а це може бути, коли частота підведеної напруги дорівнює частоті, що визначена останньою формулою, в колі виникає резонанс напруг.

I

З виразу закону Ома для послідовного кола випливає, що струм в колі при резонансі дорівнює напрузі, поділеній на активний опір I=U/R. Отже струм в колі може виявитись значно більшим за струм, який би мав бути при відсутності резонансу.

При резонансі напруга на індуктивності дорівнює напрузі на ємності   IXL = IXC = UL = UC.

При великих значеннях XL і XC відносно R ці напруги можуть в багато разів перевищувати напругу живлення. Підвищення напруги (перенапруга) на окремих ділянках кола, якщо воно заздалегідь не враховане, є небезпечним для цілісності ізоляції електричної установки.

Резонанс в колі при послідовному з’єднані споживачів має назву резонанс напруг.

Напруга на активному опорі при резонансі дорівнює напрузі, що прикладена до кола U= IR = U.

Векторна діаграма при резонансі (на малюнку діаграма б)) ілюструє той факт, що струм співпадає за фазою з напругою і що напруга на активному опорі дорівнює напрузі живлення.

Реактивна потужність при резонансі дорівнює нулю

Q = QL – QC = ULI – UCI = 0, оскільки UL = UC.

Повна потужність дорівнює активній потужності , оскільки Q = 0.

Коефіцієнт потужності дорівнює одиниці сos φ= P/S = R/Z = 1.

Оскільки резонанс напруг виникає, коли індуктивний опір послідовного кола дорівнює ємнісному, а їх значення визначаються відповідно індуктивністю, ємністю кола і частотою живлення (XL = 2πfL і XC = 1/(2πfC)), то резонанс може бути досягнутий або шляхом підбору параметрів кола при заданій частоті живлення, або шляхом підбору частоти живлення при заданих параметрах кола.

В інтервалі частот f = 0÷ fрез навантаження має активно–ємнісний характер, струм випереджає за фазою напругу живлення.

В інтервалі частот f = fрез ÷ ∞ навантаження має активно–індуктивний характер, струм відстає за фазою від напруги живлення.

Найбільше значення напруги на ємності отримується при частоті трохи меншій за резонансну, а на індуктивності – на частоті трохи більшій за резонансну.

В ряді областей електротехніки резонанс напруг знаходить корисне застосування. Коливальні контури, наприклад, є обов’язковою частиною радіотехнічних пристроїв. Зокрема, настройка радіоприймача полягає в тому, щоб шляхом зміни ємності С або індуктивності L досягнути збігу частоти коливального контуру в приймачі з частотою генераторів радіостанції.

 Резонанс струмів.

 RzI


Резонанс струмів може виникнути в паралельному колі, одна з віток якого включає L і R, а інша C і R.

Резонансом струмів називають такий стан кола, коли струм в нерозгалуженій частині кола (І) співпадає за фазою з напругою, реактивна потужність дорівнює нулю і коло споживає тільки активну потужність.

Як це видно з векторної діаграми (б), загальний струм в колі співпадає за фазою з напругою, якщо реактивні складові струмів у вітках з індуктивністю і ємністю рівні за модулем |Ір1| = |Ір2|.

Реактивна складова загального струму кола, що дорівнює різниці реактивних складових струмів, в цьому випадку дорівнює нулю Ір1 – Ір2 = 0.

Загальний струм кола має тільки активну складову, що дорівнює сумі активних складових струмів у вітках І = Іа = Іа1 + Іа2.

Виразивши реактивні складові струмів через напруги і реактивні опори отримаємоUX

або UbL = UbC, де bL і bC відповідні реактивні провідності.

Звідки bL = bC.

Отже, при резонансі струмів реактивна провідність вітки з індуктивністю дорівнює реактивній провідності вітки із ємністю.

Виразивши bL і bC через опори відповідних віток можна визначити резонансну частоту контуру:

rf.

Звідки:   .fr

В ідеальному випадку, коли R1 = R2 = 0: .f

При резонансі струмів коефіцієнт потужності дорівнює одиниці cosφ =1.

Повна потужність дорівнює активній потужності S = P.

Реактивна потужність дорівнює нулю Q = QL – QC = 0.

Енергетичні співвідношення в колі при резонансі струмів аналогічні процесам, що проходять при резонансі напруг.

Реактивна енергія діє всередині кола. В одну частину періоду енергія магнітного поля індуктивності переходить в енергію електричного поля ємності, в наступну частину періоду енергія електричного поля ємності переходить в енергію магнітного поля індуктивності. Обміну реактивною енергією між споживачами кола і джерелом живлення нема. Струм в проводах, що з’єднують коло з джерелом, обумовлений тільки активною потужністю.

Для резонансу струмів характерно, що загальний струм в нерозгалуженій частині кола при певному збігу параметрів кола може бути значно меншим струмів в кожній з віток. Для ідеального кола (R1 = R2 =0) загальний струм дорівнює нулю, а струми віток з ємністю і індуктивністю існують: вони рівні за модулем і зсунуті за фазою на 180°.

Резонанс в колі при паралельному з’єднанні споживачів називається резонансом струмів.

Резонанс струмів може бути отриманий шляхом підбору параметрів при заданій частоті джерела живлення або шляхом підбору частоти джерела живлення при заданих параметрах кола.